Program; hızlandırılmış dersler (crash courses), mini-kurslar ve plenary (genel) dersleri bir araya getirerek alanın önde gelen uzmanları tarafından sunulacaktır. Katılımcılar rektifiye edilebilirlik, ölçü kuramı ve harmonik analizdeki güncel gelişmeleri derinlemesine inceleme ve yerleşik araştırmacılarla etkileşim kurma olanağı bulacaktır. Özellikle lisansüstü ve doktora öğrencileri ile ölçü kuramı, rektifiye edilebilirlik veya ilişkili alanlara ilgi duyan genç araştırmacıların katılımı teşvik edilmektedir.
Ortak düzenleyiciler: Thierry De Pauw (ITS), Siran Li (Shanghai Jiao Tong University) ve Hervé Pajot (Université Grenoble Alpes).
Genel Bakış
Rektifiye edilebilirlik ve saf rektifiye edilemezlik çalışmaları, 20. yüzyılın ilk yarısında A. S. Besicovitch ve çalışma arkadaşlarının Öklid düzleminde Hausdorff ölçülerinin geometrisi üzerine katkılarıyla başlamıştır. Bu fikirler zamanla daha yüksek boyutlara genellenmiş ve varyasyonlar hesabına uygulanmıştır.
Bu bağlamda kilit dönüm noktalarından biri, rektifiye edilebilir ve fraktal kümeler arasındaki geometrik ayrımı betimleyen Besicovitch projeksiyon teoremidir. Teorem daha sonra Federer tarafından genellenmiş ve Fleming ile birlikte integral akımların kompaktlığının özgün ispatında kullanılmıştır.
Son yıllarda Besicovitch–Federer projeksiyon teoremi, David Bate’in metrik uzaylardaki çalışmaları ve Damian Dabrowski’nin düzlemdeki nicel versiyonu ile yeniden ilgi görmüştür. Dabrowski’nin mini-kursu, problemin tarihsel gelişimini özetleyecek ve saf rektifiye edilemez kümelere “yakın” projeksiyon kümelerinin boyutlarına ilişkin sınırlar elde etmeye yarayan yeni araçları tanıtacaktır. Bu hat, eğer bir E kümesi sınırlı karmaşık analitik fonksiyonlar için kaldırılabilir (removable) ise Favard uzunluğunun (doğrulara ortogonal projeksiyonların ortalama uzunluğu) sıfır olduğunu öne süren Vitushkin varsayımına doğrudan bağlanır.
Bir boyutlu sonlu Hausdorff ölçüsüne sahip kümeler için söz konusu varsayım, Guy David tarafından; Christ, Jones, Mattila, Melnikov, Verdera gibi araştırmacıların çalışmalarını temel alan uniform rektifiye edilebilirlik ve harmonik analiz araçlarıyla ispatlanmıştır. σ-sonlu bir boyutsal ölçü durumuna geçiş ise Xavier Tolsa’nın ek çalışmalarıyla sağlanmıştır.
Uniform Rektifiye Edilebilirlik ve Harmonik Analiz
Uniform rektifiye edilebilirlik, 1990’ların başında rektifiye edilebilirliğin nicel bir güçlendirmesi olarak ortaya konmuş ve düzensiz kümeler üzerinde tekil integral operatörlerinin sınırlılığının incelenmesinde temel rol oynamıştır.
Guy David’nin dersleri, bu kavrama yapılandırılmış bir giriş sunacak; uygulama gücü yüksek bir araç olan corona ayrıştırması (corona decomposition) üzerine en az bir örnekle sonuçlanacaktır.
Eşzamanlı olarak Xavier Tolsa’nın mini-kursu, Riesz dönüşümü ile rektifiye edilebilirlik arasındaki bağlantıyı ele alacak; L²(μ)-sınırlı Riesz dönüşümüne sahip ölçülerin, β² katsayıları (geometrik düzlük ölçütleri) cinsinden karakterizasyonuna ilişkin ortak sonuçları özetleyecektir. Bu içgörüler, Lipschitz harmonik fonksiyonların kaldırılabilir tekillikleri ve harmonik ölçünün yer aldığı tek serbest ve çift serbest sınır değer problemleri gibi konuların anlaşılmasında kilittir.
Harmonik Haritalar ve Tekil Kümeler
Harmonik haritaların düzenlilik kuramı, geometrik analiz ve doğrusal olmayan KED’lerin (kısmi diferansiyel denklemler) merkezî bir konusudur. On yıllar içinde tekilliklere ilişkin incelikli bir tablo ortaya çıkmıştır:
- Zayıf anlamda harmonik haritalar her yerde süreksiz olabilir (Rivière);
- İstasyoner harmonik haritalar, kodimetre 2’lik bir küme dışında düzgündür (Bethuel, Evans);
- Minimizan harmonik haritalar, kodimetre 3’lük bir küme dışında düzgündür (Schoen–Uhlenbeck).
Modern çerçeve, Naber ve Valtorta tarafından nicel bir kontrol ile geliştirilmiş; minimizan bir harmonik haritanın tekil kümesinin en üst boyutlu tabakasının yerel olarak uniform sonlu Hausdorff ölçüye sahip olduğu gösterilmiştir.
Changyou Wang’ın dersleri şunları kapsayacaktır:
- Minimizan ve istasyoner harmonik haritaların kısmi düzenlilik kuramı (Hélein, Evans, Bethuel),
- Tekil kümelerin rektifiye edilebilirliği ve kusur ölçüleri (Lin, Naber, Valtorta),
- Chen–Struwe ısı akışı bağlamında tekil kümelerin genel özellikleri.
Nicel Tabakalaşma ve Reifenberg Kuramı
Naber–Valtorta sonrasında, çeşitli yeni analitik teknikler geliştirilmiş ve uygulanmıştır:
- Nicel tabakalaşma (Cheeger–Naber),
- Rektifiye ve ayrık (discrete) Reifenberg teoremleri,
- Enerji kaplama / boyun (neck) analizi yöntemleri.
Daniele Valtorta’nın mini-kursu, Jones’un β-sayılarının Dini toplamlanabilirliği (Dini summability) ve kalibrasyonlar gibi güçlü araçları vurgulayarak Reifenberg-tip koşulların rektifiye versiyonlarını inceleyecektir.
Lipschitz Fonksiyonların Türevlenebilirliği
Rademacher teoremi, Öklid uzayında tanımlı skaler Lipschitz fonksiyonların hemen her yerde türevlenebilir olduğunu (türevlenemez noktaların Lebesgue-sıfır olduğunu) söyler.
Buna karşılık, ters yön tek değişken için betimsel-kümeler kuramına dair gerekli bir koşul ile geçerlidir: Gerçek doğru üzerindeki her Lebesgue-sıfır küme, bir Lipschitz fonksiyonun türevlenemediği noktalar kümesinin içinde yer alır. İki veya daha çok değişkenli durumda ise tablo dramatik biçimde farklıdır: Preiss teoremi, düzlemde her Lipschitz fonksiyonunun bir türevlenebilirlik noktası içeren Lebesgue-sıfır kümelerin varlığını gösterir.
Olga Maleva’nın mini-kursu, tipik Lipschitz fonksiyonların türevlenebilirliği ile saf rektifiye edilemez kümelerin yapısını ilişkilendirecek; bu tür kümelerin sayılamalı çoklukta kapalı saf rektifiye edilemez küme ile kaplanabildiğini ortaya koyacaktır.
Başvuru Bilgileri
Program; matematik alanında lisans mezunu (tercihen yüksek lisans), şu konularda sağlam arka plana sahip lisansüstü ve doktora öğrencilerine açıktır:
- Rektifiye edilebilirlik ve rektifiye edilemez kümeler
- Ölçü kuramı
- Harmonik analiz
Gerekli Başvuru Belgeleri
- İngilizce özgeçmiş (CV)
- Not dökümleri (transkriptler)
- İngilizce motivasyon mektubu (başvuru nedenleri ve kış okulunun araştırmanızla ilişkisi)
- En az bir referans mektubu için hakemin e-posta bilgisi
- İngilizce yeterlik kanıtı (IELTS/TOEFL skorları, İngilizce ders transkriptleri veya İngilizce konuşulan ülkede eğitim)
- İlgili bilimsel çalışmalar (makaleler vb.)
Başvuru Bağlantıları
Öğrenci Kayıt:
👉 https://www.wjx.cn/vm/O6i8Bjk.aspx#
Öğretim Üyesi Kayıt:
👉 https://www.wjx.cn/vm/PK9L4lq.aspx#
Önemli Tarihler
Kaynak:https://mp.weixin.qq.com/s/iu8RO3Sv-fIoCscvRvjHcg
ABD Avrupa Bilim BLCU BRICS burs China CSC Culture Deprem Ekonomi eğitim Hindistan Kore kuşak ve yol Kültür Pekin Rusya Scholarship science Sinciang Sinciang Uygur Ozerk Bolgesi Sino Sino Turkish Sino Turkish Sino Turkish Sino Turkish Sino Turkish Sino Turkish Studies Sino Turkish Studies Sino Turkish Studies Sino Turkish Studies Tayvan Trump Turkiye Türkiye University Uyghur Vize Wang Yi Xi Jinping Xinjiang ZJUT Çin Çin Halk Cumhuriyeti
